能量方程又常称伯努利方程，它实际上是流动液体的能量守恒定律。
由于流动液体的能量问题比较复杂，所以在讨论时先从理想液体的流动情况着手，然后再展开到实际液体的流动上去。
（一）理想液体的运动微分方程
在液流的微小流束上取出一段通流截面积为dA、长度为ds的微元体，如图3-12所示。在一维流动情况下，对理想液体来说，作用在微元体上的外力有以下两种：
1)压力在两端截面上所产生的作用力
图3-12理想液体的一维流动
2)作用在微元体上的重力
– pgdsdA
这一微元体的惯性力为
式中u——微元体沿流线的运动速度，u=ds/dt。
根据牛顿第二定律∑F= ma有
式(3-15)就是理想液体的运动微分方程，亦称液流的欧拉方程。它表示了单位质量液体的力平衡方程。
（二）理想液体的能量方程
将式(3-15)沿流线s从截面1积分到截面2（见图3-12），便可得到微元体流动时的能量关系式，即
上式两边同除以g，移项后整理得
对于恒定流动来说，əu/ət=0，故上式变为
p1/pg+z1+(u2)2/2g=p2/pg+z2+(u2)2/2g
式(3-16)、式(3-17)分别为理想液体微小流束作非恒定流动和恒定流动时的能量方程。
由于截面l、2是任意取的，因此式(3-17)也可写成
p/pg+z+u2/2g=常数 (3-18)
式(3-18)与液体静压力基本方程式(3-4)相比多了一项单位重力液体的动能U2/2g（常称速度头）。
因此，理想液体能量方程的物理意义是：理想液体作恒定流动时具有压力能、位能和动能三种能量形式，在任一截面上这三种能量形式之间可以相互转换，但三者之和为一定值，即能量守恒。
（三）实际液体的能量方程
实际液体流动时还需克服由于粘性所产生的摩擦阻力，故存在能量损耗。设图3-12中微元体从截面1到截面2因粘性而损耗的能量为h’w，则实际液体微小流束作恒定流动时的能量方程为
p1/pg+z1+(u1)2/2g=p2/pg+z2+(u2)2/2g+h’w (3-19)
为了求得实际液体的能量方程，图3-13示出了一段流管中的液流，两端的通流截面积各为A1、A2。在此液流中取出一微小流束，两端的通流截面积各为dA1和dA2，其相应的压力、流速和高度分别为p1、u1、zl和p2、u2、z2：。这一微小流束的能量方程是式( 3-19)。将式(3-19)的两端乘以相应的微小流量dq（dq=u1dA1=u2dA2),然后各自对液流的通流截面积A1和A2进行积分，得
上式左端及右端前两项积分分别表示单位时间内流过A1和A2的流量所具有的总能量，而右端最后一项则表示流管内的液体从A1流到A2因粘性摩擦而损耗的能量。
图3-13 流管内液体能量方程推导简图
为使式（3-20）便于实用，首先将图3-13中截面A1和A2处的流动限于平行流动（或缓变流动），这样，通流截面A1、A2可视作平面，在通流截面上除重力外无其他质量力，因而通流截面上各点处的压力具有与液体静压力相同的分布规律，即p/(pg) +z=常数。
其次，用平均流速v代替通流截面A1或A2上各点处不等的速度v，且令单位时间内截面A处液流的实际动能和按平均流速计算出的动能之比为动能修正系数a，即
此外，对液体在流管中流动时因粘性摩擦而产生的能量损耗，也用平均能量损耗的概念来处理，即令
将上述关系式代入式( 3-20)，整理后可得
p1/pg+z1+a1(v1)2/2g=p2/pg+z2+a2(v2)2/2g+hw (3-22)
式中a1、a2——截面A1、A2上的动能修正系数。
式( 3-22)就是仅受重力作用的实际液体在流管中作平行（或缓变）流动时的能量方程。它的物理意义是单位重力实际液体的能量守恒。其中^。为单位重力液体从截面A．流到截面A2过程中的能量损耗。
在应用上式时，必须注意p和z应为通流截面的同一点上的两个参数，为方便起见，通常把这两个参数都取在通流截面的轴心处。
解 图3-14所示为文丘利流量计原理图。在
文丘利流量计上取两个通流截面1-1和2-2，它们的面积、平均流速和压力分别为A1、Vl、P1和A2、V2、P2。如不计能量损失，对通过此流量计的液流采用理想液体的能量方程，并取动能修正系数a=l，则有
p1/pg+(v1）2/2g=p2/pg+(v2)2/2g
根据连续方程，又有
图3-14文丘利流量计
v1A1=V2A2=q
U形管内的压力平衡方程为
P1+pgh=P2+p’gh
式中p.P’——液体和水银的密度。
将上述三个方程联立求解，则可得
即流量可以直接按水银压差计的读数^换算得到。
液压泵吸油装置如图3-15所示。设油箱液面压力为P1，液压泵吸油口处的绝对压力为P2，泵吸油口距油箱液面的高度为h。
解 以油箱液面为基准，并定为1-1截面，泵的吸油口处为2-2截面。取动能修正系数al=a2 =1，对1-1和2-2截面建立实际液体的能量方程，则有
p1/pg+(v1)2/2g= p2/pg+h+(v2)2/2g+hw
图示油箱液面与大气接触，故P1为大气压力，即P1=Pa；Vl为油箱液面下降速度，由于v1《V2，故v1可近似为零；V2为泵吸油口处液体的流速，它等于流体在吸油管内的流速；hw为吸油管路的能量损失。因此，上式可简化为
Pa/pg=P2/pg+h+(v2)2/2g+hw
所以液压泵吸油口处的真空度为
图3-15液压泵吸油装置
Pa -P2=pgh+0.5p(v2)2+pghw=pgh+0.5p(v2)2+hw
由此可见，液压泵吸油口处的真空度由三部分组成：把油液提升到高度危所需的压力、将静止液体加速到V2所需的压力和吸油管路的压力损失。 |
